Boolean algebra. algebra ntawm logic. Hais ntawm mathematical logic

Nyob rau hauv hnub no lub ntiaj teb no peb yuav nce siv ib tug ntau yam ntawm cov cav tov thiab gadgets. Thiab tsis tsuas yog thaum nws yog tsim nyog los thov cia superhuman zog: tsiv mus nyob rau load rau tsa nws rau hauv lub qhov siab, khawb ntev thiab sib sib zog nqus trench, thiab lwm yam Tsheb hnub no sau robots, khoom noj khoom haus yog siav Multivarki thiab elementary xam suav tsim cov cav laij leb ... Ntau thiab ntau cov feem ntau peb tau hnov cov lus "Boolean algebra". Tej zaum lub sij hawm tau tuaj mus rau to taub lub luag hauj lwm ntawm tib neeg beings nyob rau hauv cov creation ntawm robots thiab cov cav tov lub peev xwm los daws tsis tau tsuas yog zauv, tab sis kuj cov zajlus kom muaj teeb meem.

logic

Nyob rau hauv Greek logic - ib tug kom system uas yog kev xav uas tsim kev sib raug zoo ntawm cov muab tej yam kev mob thiab tso cai rau koj los mus ua kom inferences raws li cov kev xav thiab kev kwv yees. Heev feem ntau, peb thov txhua lwm yam: "Nws yog ib zajlus kom" Lub teb qhia peb cov kev xav los yog criticizes lub tsheb ciav hlau uas yog kev xav. Tab sis tus txheej txheem tsis txhob muaj: peb tseem tham.

Tej zaum lub xov tooj ntawm tej yam kev mob (tswv yim) yog zoo li ntawd, thiab cov kev sib raug zoo nruab nrab ntawm lawv yog li ntawd tsis to taub thiab complex hais tias tus tib neeg lub hlwb yog tsis muaj peev xwm "zom" tag nrho ib zaug. Tej zaum koj yuav xav tau ntau tshaj ib lub hlis (ib lub lim tiam, xyoo) rau qhov kev nkag ntawm dab tsi tshwm sim. Tab sis niaj hnub lub neej tsis muab tej no rau peb lub sij hawm Team sib yuav ua rau kev txiav txim siab. Thiab peb chaw uasi mus rau kev pab ntawm computers. Thiab nws yog nyob ntawm no hais tias muaj yog ib tug algebra thiab logic, nrog nws cov kev cai thiab cov khoom. Tom qab daus tag nrho ntawm cov ntaub ntawv, peb tso cai rau lub computer kom paub txog tag nrho cov kev sib raug zoo, mus tshem tawm contradictions thiab mus nrhiav ib tug fee tov.

Lej thiab logic

Nto moo Gotfrid Vilgelm Leybnits formulated lub tswvyim ntawm "mathematical logic", uas paub tab yooj yim rau to taub xwb ib tug me me lub vajvoog ntawm kws tshawb fawb. Ntawm kev txaus siab yog cov kev taw qhia tsis ua, thiab mus rau nruab nrab ntawm lub XIX xyoo pua ntawm mathematical logic paub los ntawm ob peb.

Lub zoo txaus siab nyob rau hauv lub scientific lub zej lub zos tau tshwm sim los ib tug tsis sib haum nyob rau hauv uas lub Englishman Dzhordzh Bul tshaj tawm hais tias nws lub tswv yim los tsim kom muaj ib tug ceg ntawm kev kawm txog zauv, tsis muaj kiag li tsis muaj kev siv tswv yim. Raws li peb paub los ntawm keeb kwm, lub sij hawm no nquag tsim muaj ntau lawm, peb tsim tag nrho cov hom ntawm koom haum pab cov tshuab, t. E. Txhua scientific discoveries tau muaj ib tug tswv yim orientation.

Nrhiav ntej, peb hais tias ib tug Boolean algebra - lub feem ntau siv nyob rau hauv lub ntiaj teb no niaj hnub no ib feem ntawm kev kawm txog zauv. Yog li ntawd koj cav Buhl poob.

Dzhordzh Bul

Cov cwm pwm ntawm tus neeg sau deserves tshwj xeeb mloog. Txawm muab qhov tseeb hais tias nyob rau hauv lub yav dhau los cov neeg loj hlob ua ntej peb, tseem nws yuav tsum tau muab sau tseg tias nyob rau hauv lub 16 xyoo ntawm John. Buhl qhia rau hauv lub zos lub tsev kawm ntawv, thiab mus rau 20 xyoo qhib nws tus kheej lub tsev kawm ntawv nyob rau hauv Lincoln. Mathematician txig mastered tsib lwm hom lus, thiab nyob rau hauv nws lub sij hawm spare, tau nyeem tej hauj lwm ntawm Newton thiab Lagrange. Thiab tag nrho cov no - nyob rau hauv ib tug dog dig neeg ua hauj lwm tus tub!

Nyob rau hauv 1839, Buhl xa nws cov thawj scientific ntaub ntawv nyob rau hauv lub Cambridge lej Journal. Tus paub txog muab 24 xyoo. Boole lub chaw ua hauj lwm yog li ntawd xav mej zeej ntawm lub noob nom noob tswv Society, nyob rau hauv 1844 nws tau txais ib tug puav pheej rau nws pab mus rau txoj kev loj hlob ntawm zauv tsom xam. Ib tug ob peb luam tawm cov ntaub ntawv nyob rau hauv uas lub ntsiab ntawm mathematical logic, kev ua lej tso cai tus tub hluas mus tau tus ncej ntawm xibfwb nyob rau hauv lub College ntawm Cork County tau piav. Nco qab hais tias thaum lub heev Boole kev kawm ntawv tsis yog.

lub tswv yim

Nyob rau hauv hauv paus ntsiab lus, Boolean algebra yog heev yooj yim. Muaj cov nqe lus (zajlus kom kab zauv) hais tias, los ntawm tus taw tes ntawm view ntawm kev kawm txog zauv, yuav tsuas yuav txhais ob lo lus: "muaj tseeb" los yog "cuav". Piv txwv li, ntoo nyob rau hauv caij nplooj ntoos hlav tawg - qhov tseeb, nyob rau hauv lub caij ntuj sov nws snows - ib tug dag. Txoj kev zoo nkauj ntawm kev kawm txog zauv yog hais tias nws yog tsis nruj me ntsis tsim nyog los siv xwb tus xov tooj. Rau cov algebra kev txiav txim heev haum tej nqe lus nrog nws lub ntsiab lus.

Yog li, lub algebra ntawm logic yuav siv tau cia qhov txhia chaw: nyob rau hauv lub sij hawm thiab sau ntawv qhia, tsom xam ntawm kev tsis sib haum cov lus qhia txog lub txheej xwm thiab qhov kev txiav txim ntawm ib theem zuj zus ntawm kev ua. Qhov tseem ceeb tshaj - kom paub hais tias nws tsis txawv li cas peb txiav txim qhov tseeb los yog falsity ntawm cov nqe lus. Los ntawm cov "yuav ua li cas" thiab "yog vim li cas" koj yuav tsum las mees. Yuav ua li cas tseem ceeb tsuas yog ib daim ntawv qhia ntawm fact: qhov tseeb yog ib qhov dag.

Ntawm cov hoob kawm, lub cajmeem lub tseem ceeb tshaj plaws zog ntawm cov algebra ntawm logic uas yog kaw nrog tsim nyog tej yam tshwm sim thiab cov cim. Thiab kawm lawv - nws txhais tau hais tias kawm tau tshiab txawv teb chaws lus. Tsis muaj dab tsi yog tsis yooj yim sua.

Basic ntsiab thiab txhais cov ntsiab

Tsis tas yuav mus rau hauv qhov tob, peb nrog terminology. Yog li ntawd, Boolean algebra presupposes:

• cov nqe lus;
• zajlus kom ua hauj lwm;
• zog thiab cov cai.

Nqe lus - tej tus tib qhia tias yuav muab txhais ob-muaj nuj nqis. Lawv sau raws li tus xov tooj (5> 3) los yog formulated paub lus (ntxhw - cov coob muaj plaub). Nyob rau hauv cov ntaub ntawv no, cov lus "cov nees caj dab ntev lub caj dab yog tsis" kuj muaj ib txoj cai nyob ua ib ke, tsuas yog Boolean algebra txhais nws raws li "ib tug dag."

Tag nrho cov nqe lus yuav tsum unambiguous, tab sis tej zaum lawv yuav tau yooj yim los yog compound. Tsis ntev los no siv zajlus kom nras. E. Nyob rau hauv lub algebra nqe lus txiav txim compound tsim los ntawm qhov sib ntxiv ntawm elementary logic hauj lwm.

Boolean algebra hauj lwm

Peb twb nco ntsoov tias cov neeg ua haujlwm nyob rau hauv lub algebra ntawm kev txiav txim - zajlus kom. Ib yam li cov algebra ntawm tus xov tooj siv lub laij zauv ua hauj lwm mus ntxiv, rho tawm, los yog muab los sib piv xov tooj, mathematical logic hais cia los mus ua kom txoj cov nqe lus, los tsis kam los yog mus rau xam zaum kawg tshwm sim.

Logic khiav hauj lwm rau lub formalization thiab simplicity qhia los ntawm cov mis, paub rau peb nyob rau hauv xam. Thaj chaw ntawm Boolean algebra sib npaug ua rau nws tau sau thiab xam qhov tsis paub. Zajlus kom ua hauj lwm yog feem ntau sau cia los ntawm qhov tseeb lub rooj. Nws hais txhais tau txhua thiab xam cov lag luam uas yog ua rau lawv, thiab cov kab qhia qhov tshwm sim ntawm suav.

Basic logic ntawm kev txiav txim

Feem ntau nyob rau hauv lub Boolean algebra hauj lwm yog negation (TSIS), thiab cov zajlus kom THIAB thiab LOS YOG. Yog li ntawd nws yog tau los piav qhia txog suab tag nrho cov kauj ruam nyob rau hauv algebra kev txiav txim. Peb kawm nyob rau hauv kom meej txhua tus ntawm peb ua hauj lwm.

Lub negation (tsis) yog thov tsuas yog ib lub caij (operand). Yog li ntawd, lub lag luam yog hu ua ib tug unary negation. Yuav kom sau lub tswvyim ntawm "tsis A" siv xws cim: ¬A, ib tug los yog ib tug !. Nyob rau hauv tabular daim ntawv nws zoo li no:

Cov kev ua ntawm tsis kam muab ntse xws ib daim ntawv qhia: yog hais tias ib tug yeej muaj tseeb, ces A - yog tsis muaj tseeb. Piv txwv li, lub hli revolves nyob ib ncig lub ntiaj teb - qhov tseeb; Lub ntiaj teb revolves nyob ib ncig lub hli - ib tug dag.

Zajlus kom sib npaug thiab tsis tas li ntawd

Zajlus kom THIAB lag luam yog hu ua ib tug tau. Ua li cas nws txhais li cas? Firstly, hais tias nws yuav tau mus thov kom ob tug operands, piv txwv li, kuv - .. Binary lag luam. Secondly, nws tsuas yog nyob rau hauv cov ntaub ntawv ntawm qhov tseeb ntawm tag nrho ob qho operands (ob A thiab B) yog muaj tseeb thiab cov kev qhia nws tus kheej. Cov paj lug, "Siab ntev thiab ib tug me ntsis kev rau siab" implies hais tias tsuas yog ob tug yam yuav pab tau ib tug neeg tiv nrog lub teeb meem.

cov cim no yeej siv rau cov ntaubntawv povthawj siv: A∧B, A⋅B los sis A && B.

Tau yog zoo li npaug nyob rau hauv xam. Tej zaum thiab hais tias - cov zajlus kom sib npaug. Yog hais tias koj muab lub ntsiab ntawm lub kab ntawm lub rooj, peb tau txais ib tug tshwm sim zoo sib xws rau cov zajlus kom xav.

Disjunction yog ib zajlus kom LOS YOG lag luam. Nws yog TRUE yog tsawg kawg yog ib tug ntawm cov nqe lus no yeej muaj tseeb (yog A los yog B). Nws yog sau zoo li no: A∨B, A + B los sis A || B. qhov tseeb lub rooj rau cov ua hauj lwm yog:

Disjunction zoo xws li cov xam tas li ntawd. zajlus kom tas li ntawd lag luam muaj tib tug txwv: 1 + 1 = 1. Tab sis peb nco ntsoov hais tias nyob rau hauv ib cov hom ntawv yog tas rau mathematical logic 0 thiab 1 (qhov twg 1 - qhov tseeb, 0 - tsis muaj tseeb). Piv txwv li, cov ntaub ntawv "nyob rau hauv lub tsev cia puav pheej koj yuav saib tau ib tug masterpiece los yog nrhiav ib tug zoo lub tuam txhab" txhais tau tias yog dab tsi koj yuav saib tau hauj lwm ntawm cov kos duab, thiab nws yog ua tau kom tau raws li ib qho kev nthuav tus neeg. Nyob rau tib lub sij hawm, tsis txhob kav tawm tau ntawm simultaneous ua kom tiav ntawm ob txheej xwm.

Tso cai thiab tej kev cai

Yog li ntawd, peb twb paub tias dab tsi cov zajlus kom ua hauj lwm siv Boolean algebra. Tso cai piav qhia txog tag nrho cov khoom lub ntsiab ntawm mathematical logic, thiab tso cai rau peb mus piv rau txoj compound cov nqe lus. Lub meej tshaj plaws thiab yooj yim rau nkawd tsis khoom teejtug uas yog cov derivatives hauj lwm. Los ntawm derivatives yog to taub XOR, implication thiab equivalence. Raws li peb tau nyeem xwb nrog qhov yooj yim ua hauj lwm, thiab ces cov cuab yeej yog kuj tsuas xav txog lawv.

Associativity txhais tau tias nyob rau hauv cov nqe lus xws li "ob A thiab B, thiab B 'ib theem zuj zus qhia txog cov operands tsis txawv. Cov mis yog sau raws li nram no:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Raws li koj tau pom, qhov no yog tsis yog nws mus rau lub koom tab sis ib tug disjunction.

Commutativity cav hais tias lub txiaj ntsim ntawm tus tau los yog disjunction tsis yog nyob ntawm seb uas yam khoom mas suav hais tias ntawm tus nyuam:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity tso cai qhia tawm nkhaus nyob rau hauv txoj zajlus kom kab zauv. Cov kev cai yog zoo li tus qhib parenthesis nyob rau hauv lub npaug thiab tsis tas li ntawd nyob rau hauv algebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Unit zog thiab kos, uas yuav ua tau ib yam ntawm cov operands kuj zoo ib yam li cov algebraic npaug ntawm xoom los yog ib tug, thiab tsis tas li ntawd ntawm ib chav tsev:

A∧0 = 0, A∧1 = ib tug; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency qhia rau peb hais tias yog kuj ob sib npaug zos operands lub txiaj ntsim ntawm lub lag luam yog tib yam, koj muaj peev xwm "muab pov" lub dhau heev lawm complicate kev xav operands. Thiab cov tau thiab disjunction hauj lwm yog idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Tshaaj kuj tso cai rau peb mus piv rau kab zauv. Haum hais tias thaum lub qhia yog muaj ntaub ntawv rau ib tug operand, lwm lub lag luam nrog rau cov tib lub caij uas cov operand yog absorbing lub lag luam.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

ib theem zuj zus ntawm kev ua hauj lwm

Cov kab sab ntawm kev ua hauj lwm yog ib yam uas tseem ceeb heev. Ua tau, raws li rau algebra, muaj ib feem muaj nuj nqi uas siv ib tug Boolean algebra. Qauv yuav yooj yim zog xwb kev kawm tej yam tseem ceeb ntawm cov neeg ua haujlwm. Qeb duas ntawm cov feem ntau tseem ceeb rau negligible, peb muab tau cov nram qab no ua ntu zus:

1. Tsis pom zoo.

2. tau.

3. Cov disjunction, XOR.

4. Lub implication, equivalence.

Raws li koj tau pom, tsuas yog tus negation ntawm lub tau thiab tsis muaj sib npaug zos tseem ceeb. Ib tug tseem ceeb tshaj ntawm lub disjunction thiab XOR yog muaj sib npaug, raws li zoo raws li lub tseem ceeb ntawm implication thiab equivalence.

Tso cai ntawm implication thiab equivalence

Raws li peb tau hais tias, nyob rau hauv tas li ntawd mus rau lub yooj yim zajlus kom ua hauj lwm, mathematical logic thiab kev tshawb xav ntawm algorithms siv derivatives. Nws yog feem ntau cov implication thiab equivalence.

Lub implication los yog cov zajlus kom tsim nyog tau - qhov no daim ntawv qhia, nyob rau hauv uas ib tug txiav txim yog ib tug mob, thiab lwm yam - qhov tshwm sim ntawm nws siv. Nyob rau hauv lwm yam lus, qhov no tswv yim nrog rau cov pretext ntawm "yog hais tias ... ces". "Tom qab noj hmo los lub reckoning." E. Rau tsav tsheb yuav tsum tau nruj rau lub laub toj. Yog hais tias muaj yog tsis muaj lub siab xav mus txav mus los ntawm lub roob, thiab ces luag lub laub yog tsis tsim nyog. Yog sau li no: Ib tug → B los yog A⇒B.

Equivalence implies hais tias cov net nyhuv tshwm sim tsuas yog thaum ob leeg operands muaj tseeb. Piv txwv li, hmo ntuj muab txoj kev mus hnub ntawd ces (thiab xwb ces), thaum lub tshav ntawm lub nce tshaj lub qab ntug. Nyob rau hauv cov lus ntawm mathematical logic ntawm tsab ntawv no yog sau raws li A≡B, A⇔B, A == B.

Lwm yam kev cai ntawm Boolean algebra

Algebra kev txiav txim muaj, thiab ntau xav zaum formulate kev cai tshiab. Lub nto moo tshaj plaws yog xam tau tias yog postulates Scottish mathematician O. De Morgan. Nws pom thiab tau muab ib tug txhais ntawm xws zog raws li ze negation, tsis tas li ntawd thiab muab ob npaug rau negative.

Close tsis kam qhia hais tias ua ntej lub parenthesis yog tsis muaj tsis: tsis (A los yog B) = tsis A los yog B. TSIS

Thaum lub operand yog tsis pom zoo, tsis hais txog ntawm nws cov nuj nqis, hais txog tas li ntawd:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Thiab thaum kawg, lub ob negation nws tus kheej compensates. Xws li ua ntej yog operand negation disappears los yog mus nyob tsuas yog ib qho.

Yuav ua li cas los daws kom tau kev ntsuam xyuas

Logic implies simplification predetermined sib npaug. Cia li zoo li nyob rau hauv lub dag algebra, nws yog tsim nyog los maximally pab txhawb mob thawj (uas yuav tau tshem ntawm nyuab tswv yim ua hauj lwm, thiab nrog lawv), ces pib nrhiav ib tug cov lus teb.

Yuav ua li cas mus piv rau? Hloov tag nrho lub derivatives nyob rau hauv ib tug yooj yim lub lag luam. Ces hle tag nrho cov pab pawg (los yog vice versa, yuav ua rau cov nkhaus kom txo no). Cov kauj ruam tom ntej yuav tsum tau siv Boolean algebra khoom nyob rau hauv kev xyaum (haum zog pes tsawg thiab ib qho, thiab t.).

Thaum kawg, cov kab zauv yuav tsum muaj xws li ib tug tsawg kawg nkaus naj npawb ntawm cov unknowns, ua ke nrog tej yam yooj yim ua hauj lwm. Qhov yooj yim txoj kev uas yuav nrhiav ib tug daws, yog tias koj ua ib tug loj tus naj npawb ntawm ze negatives. Ces cov lus teb yuav pop up li hais tias los ntawm nws tus kheej.