Cov zauv tiag thiab lawv cov khoom

Pythagoras tau thov tias tus lej nyob ntawm lub qab ntuj ntawm lub ntiaj teb nrog lub ntsiab lus. Plato ntseeg tias tus lej txuas cov phenomenon thiab noumenon, pab kom paub, ntsuas thiab kos cov lus xaus. Arithmetic los ntawm lo lus "arithmos" - tus naj npawb, pib pib hauv kev ua lej. Nim tuaj yeem piav txog tej yam khoom - los ntawm ib lub hauv paus ua kua rau lub nraub qaum.

Xav tau ib qho tseem ceeb ntawm txoj kev loj hlob

Nyob rau hauv thawj zaug rau theem ntawm txoj kev loj hlob ntawm cov haiv neeg cov kev xav tau ntawm cov neeg tsis txaus los ntawm qhov yuav tsum tau kom tau - .. Ib tug lub hnab ntawm grain, ob grain hnab, thiab lwm yam kom ua li no, nws twb natural tooj, lub teeb ntawm uas yog ib qho infinite ib theem zuj zus zoo zauv N.

Tom qab ntawd, nrog rau kev kawm txog kev ua lej raws li kev tshawb fawb, muaj ib qho kev xav tau rau ib thaj chaw zeg zauv - nws muaj qhov tsis zoo thiab pes tsawg. Nws tsos ntawm tsev neeg tau raug kev cuam tshuam los ntawm qhov tseeb nyob rau hauv thawj fab nyiaj tshooj cai nws yog qhov yuav tsum tau kho qev nyiaj thiab poob. Nyob rau ib tug scientific theem, cov zauv negative tau ua nws tau mus daws tau yooj yim linear equations. Ntawm lwm yam, tam sim no nws tau los ua kom pom kev tsis tseem ceeb, vim hais tias siv tau.

Cov kauj ruam tom ntej yog qhov yuav tsum tau nkag mus rau cov zauv feem ntau, vim tias science tsis tau sawv ntsug li, ntau thiab ntau dua tshiab yuav tsum tau muaj lub hauv paus rau lub zog ntawm kev loj hlob. Yog li ntawd, yog ib tug teb ntawm rational numbers Q.

Thaum kawg, rationality ceased kom los siav thov, vim hais tias cov tshiab cov lus xaus yuav tsum tau justification. Ib qho ntawm cov zauv tiag tiag R tau tshwm sim, Euclid tus ua haujlwm ntawm kev tsis ua haujlwm ntawm qee qhov sib txawv vim lawv tsis meej. Hais tias yog, tus ancient Greek mathematician positioned tsis tau tsuas yog raws li ib tug tsis tu ncua, tab sis raws li ib tug paub daws teeb tus nqi uas yog yus muaj los ntawm tus piv ntawm incommensurable tshaj. Vim tias cov zauv muaj tseeb tshwm sim, "qhov tseem ceeb" xws li "pi" thiab "e" muaj "pom qhov kaj", tsis muaj cov kev ua lej niaj hnub yuav tsis muaj qhov chaw.

Qhov kawg innovation yog ib tug complex tooj C. Nws teb ib series ntawm cov lus nug thiab refuted yav tas los nkag mus hauv postulates. Vim tias kev loj hlob sai ntawm algebra, qhov tshwm sim yog kwv yees tau - muaj cov zauv tseeb, kev daws teeb meem ntawm ntau yam tsis tau. Piv txwv, vim muaj cov zauv yooj yim, txoj hlua thiab chaos theories tau muab hais tawm, cov lej ntawm hydrodynamics tau nthuav tawm.

Lub tswv yim ntawm kev poob lawm. Cantor

Lub tswvyim ntawm infinity txhua lub sij hawm tau teeb meem, vim hais tias nws yuav tsis muaj pov thawj los yog disproved. Nyob hauv cov ntsiab lus ntawm kev ua lej, uas ua haujlwm nrog cov pov thawj tseeb tseeb, qhov no qhia tau meej meej tshaj plaws, tshwj xeeb tshaj yog txij thaum cov lus theological pom tseem muaj qhov hnyav hauv kev tshawb fawb.

Txawm li cas los xij, ua tsaug rau cov hauj lwm ntawm cov neeg sau paj huam Georg Cantor, txhua yam poob mus rau hauv qhov chaw nrog lub sijhawm ntawm lub sijhawm. Nws ua pov thawj tias cov kev ntseeg nyob mus ib txhis muaj ib qho teeb meem uas tsis muaj qhov tseeb, thiab hais tias R daim siab tshaj tawm ntawm N, kom ob leeg tsis muaj qhov kawg. Nyob rau hauv nruab nrab ntawm XIX caug xyoo, nws lub tswv yim tau nrov hu ua delirium thiab kev ua txhaum tawm tsam lub classical, unshakable canons, tab sis lub sij hawm muab txhua yam nyob rau hauv nws qhov chaw.

Lub hauv paus ntawm thaj chaw R

Cov zauv muaj tiag tsis yog tib qho chaw xws li cov tub qis ntawm cov tub txib, uas muaj nyob rau hauv lawv, tab sis kuj tau ntxiv los ntawm lwm tus vim qhov hnyav ntawm lawv lub ntsiab:

• Xoom tshwm sim thiab muaj npe rau thaj chaw R. c + 0 = c rau kev muaj c hauv R.
• Zero tshwm sim thiab muaj npe rau thaj teb R. c x 0 = 0 rau txhua c hauv R.
• Qhov ratio c: d rau d ≠ 0 tshwm sim thiab yog tiag tiag rau cov c, d hauv R.
• Lub teb R yog txiav txim, uas yog, yog c ≤ d, d ≤ c, ces c = d rau cov c, d hauv R.
• Qhov sib ntxiv hauv daim teb R yog kev coj, uas yog, c + d = d + c rau txhua c, d hauv R.
• Txoj kev sib npaug ntawm qhov kev ua haujlwm R yog kev coj, uas yog, cx d = dx c rau twg c, d hauv R.
• Qhov sib ntxiv nyob rau ntawm thaj chaw R yog associative, uas yog, (c + d) + f = c + (d + f) rau cov c, d, f hauv R.
• Txoj kev sib npaug ntawm qhov kev kawm R yog qhov associative, uas yog, (c x d) x f = c x (d x f) rau txhua c, d, f hauv R.
• Rau txhua tus lej ntawm daim teb R muaj qhov tshwm sim ib qho, xws li hais tias c + (-c) = 0, qhov twg c, -c ntawm R.
• Rau txhua tus xov tooj ntawm daim teb R tshwm sim nws rov qab, xws li hais tias c x c ^-1 = 1 qhov twg c, c ^-1 ntawm R.
• Ib chav nyob thiab muaj li R, thiaj li hais tias c x 1 = c, rau txhua yam c hauv R.
• Txoj cai faib tis, thiaj li hais tias c x (d + f) = c x d + c x f, rau ib qho c, d, f hauv R.
• Hauv teb R, xoom tsis sib npaug zos rau ib qho.
• Lub teb R yog transitive: yog c ≤ d, d ≤ f, ces c ≤ f rau c, d, f hauv R.
• Hauv teb R, qhov kev txiav txim thiab ntxiv nrog sib txuas: yog c ≤ d, ces c + f ≤ d + f rau twg c, d, f hauv R.
• Hauv Teb r qhov kev txiav txim thiab kev sib npaug yog sib cuam tshuam: yog 0 ≤ c, 0 ≤ d, ces 0 ≤ c x d rau twg c, d los ntawm R.
• Ob qhov tsis zoo thiab zoo tiag tiag yog cov naj npawb, uas yog, rau cov c, d hauv R muaj ib qho F ntawm R xws li tias c ≤ f ≤ d.

Module hauv thaj teb R

Cov zauv tiag tiag muaj xws li ib yam khoom ua ib pawg. Nws yog denoted li | f | Rau kev f hauv R. | f | = F, yog 0 ≤ f thiab | f | = -f yog tias 0> f. Yog tias peb xav txog tus qauv ua tus nqi geometric, ces nws nruab nrab yog qhov kev tawm mus deb - nws tsis muaj teeb meem yog tias koj "dhau" los ntawm pes tsawg lub rho tawm los yog rau pem hauv ntej mus rau ntxiv.

Complex thiab tiag tiag. Muaj dab tsi thiab qhov txawv yog dab tsi?

Los thiab loj, cov zauv thiab tiag tiag yog ib qho thiab tib yam, tshwj tsis yog tias fab xav hauv kuv, uas nws qhov square-1, koom nrog thawj. Cov ntsiab lus ntawm cov cheeb tsam R thiab C tuaj yeem sawv cev tau raws li cov qauv nram qab no:

• C = d + f x kuv, qhov twg d, f mus rau Teb R, thiab kuv yog fab xav hauv tsev.

Yog xav tau C los ntawm R hauv qhov no, f tsuas yog muab xam tias yog sib npaug rau zero, uas yog, tsuas yog ib feem ntawm tus xov tooj tseem nyob. Vim hais tias cov kab ntawm txoj kab zauv muaj qhov qub txheej ntawm cov khoom ua teb ntawm cov zauv tseeb, f x kuv = 0, yog f = 0.

Nrog regards tswv yim sib txawv, piv txwv li nyob rau hauv lub teb R quadratic equation tsis tau solved yog hais tias tus discriminant yog tsis zoo, thaum lub C box tsis kom qhov no muaj kev txwv los ntawm plaug xav txog tej yam lub tsev i.

Ntsiab lus

Lub "cib" ntawm cov axioms thiab postulates uas zauv yog raws li tsis hloov. Qee tus ntawm lawv, raws li kev nce kev qhia thiab kev qhia txog cov kev xav tshiab, muab cov "cib" nram qab no, uas yav tom ntej tuaj yeem ua lub hauv paus rau lub kauj ruam tom ntej. Piv txwv, natural numbers, txawm yog lub subset ntawm tiag tiag teb R, tsis txhob poob lawv qhov tseeb. Nws yog nyob rau hauv tag nrho cov elementary arithmetic yog raws li, uas lub cognition ntawm tus txiv neej ntawm lub ntiaj teb no pib.

Los ntawm cov tswv yim ntawm kev pom, cov zauv tiag tiag zoo li txoj kab ncaj nraim. Rau nws koj xaiv tau qhov kev taw qhia, qhia lub hauv paus thiab cov kauj ruam. Cov kab no muaj tsawg kawg nkaus ntawm cov ntsiab lus, txhua tus uas sib sau mus rau ib tus lej tiag, seb puas muaj peev xwm lossis tsis ua. Los ntawm qhov kev piav qhia nws yog tseeb hais tias peb yuav sib tham txog lub tswvyim, uas yog raws li kev kawm txog zauv nyob rau hauv Feem ntau, thiab lej tsom xam nyob rau hauv particular.